Question

设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若f（x）=x+g（x）在[0，1]上的值域为[-2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为（　　）

• A、[-2，7]
• B、[-2，5]
• C、[0，8]
• D、[-3，7]

Answer 1

分析：根据周期函数的性质和函数值域的性质，结合题意加以计算即可得到则f（x）在区间[0，3]上的值域．

解答：解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）
函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]（正好是一个周期区间长度）
的值域是[-2，5]
令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]
此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1
所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[-1，6]…（1）
同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]
此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=[x+g（x）]+2
所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7]…（2）
由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[-2，7]
故选：A

点评：本题给出周期为1的函数g（x），在已知f（x）=x+g（x）在[0，1]上的值域情况下求f（x）在区间[0，3]上的值域．着重考查了函数的周期性、函数的值域求法和不等式的性质等知识，属于基础题．