Question

设g（x）是定义在R上以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，则f（x）在区间[2，5]上的值域为

[-3，6]

．

Answer 1

分析：本题根据g（x）是定义在R上以1为周期的函数，得到g（x）=g（x+1），然后根据变量代换，逐步使变量取到给定的区间[2，5]，最后求出不同区间段内的值域取并集．

解答：解：因为g（x）是定义在R上以1为周期的函数，则g（x）=g（x+1），又f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[-2，5]
令x+1=t，∵x∈[3，4]，∴t=x+1∈[4，5]，则f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1，所以t∈[4，5]，f（t）∈[-1，6]①．
再令x-1=t，∵x∈[3，4]，∴t=x-1∈[2，3]，则f（t）=t+g（t）=（x-1）+g（x-1）=（x-1）+g（x）=[x+g（x）]-1，所以t∈[2，3]，f（t）∈[-3，4]②．
综合已知条件及①②，知f（x）=x+g（x）在区间[2，5]上的值域为[-3，6]．

点评：本题重点考查了函数的周期性，主要是函数g（x）的周期1的循环利用．