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微山县第一中学学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练,都从中任意取出2个球,用完后放回.
(1)设第一次训练时取到的新球个数为ξ,求ξ的分布列;
(2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.
分析:(1)ξ的所有可能取值为0,1,2,设“第一次训练时取到i个新球(即ξ=i)”为事件Ai(i=0,1,2),求出相应的概率,可得ξ的分布列与数学期望;
(2)设“从6个球中任意取出2个球,恰好取到一个新球”为事件B,则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B.而事件A0B、A1B、A2B互斥,由此可得结论.
解答:解:(1)ξ的所有可能取值为0,1,2                
设“第一次训练时取到i个新球(即ξ=i)”为事件Ai(i=0,1,2).
因为集训前共有6个篮球,其中3个是新球,3个是旧球,所以
P(A0)=P(ξ=0)=
C
2
3
C
2
6
=
1
5
;P(A1)=P(ξ=1)=
C
1
3
C
1
3
C
2
6
=
3
5
;P(A2)=P(ξ=2)=
C
2
3
C
2
6
=
1
5

所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
1
5
3
5
1
5
ξ的数学期望为Eξ=0×
1
5
+1×
3
5
+2×
1
5
=1;
(2)设“从6个球中任意取出2个球,恰好取到一个新球”为事件B,
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B,而事件A0B、A1B、A2B互斥,
所以P(A0B+A1B+A2B)=P(A0B)+P(A1B)+P(A2B)=
1
5
×
C
1
3
C
1
3
C
2
6
+
3
5
×
C
1
2
C
1
4
C
2
6
+
1
5
×
C
1
5
C
2
6
=
38
75
点评:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列与数学期望,确定变量的取值,求出概率是关键.
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