Question

（2013•辽宁）如图，抛物线C₁：x²=4y，C₂：x²=-2py（p＞0），点M（x₀，y₀）在抛物线C₂上，过M作C₁的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x₀=1-

2

时，切线MA的斜率为-

1

2

．
（I）求P的值；
（II）当M在C₂上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．

Answer 1

分析：（I）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．
（II）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程

解答：解：（I）因为抛物线C₁：x²=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=

x

2

，且切线MA的斜率为-

1

2

，所以A点的坐标为（-1，

1

4

），故切线MA的方程为y=-

1

2

（x+1）+

1

4

因为点M（1-

2

，y₀）在切线MA及抛物线C₂上，于是
y₀=-

1

2

（2-

2

）+

1

4

=-

3-2 2

4

     ①
y₀=-

(1- 2 )2

2p

=-

3-2 2

2p

          ②
由①②解得p=2
（II）设N（x，y），A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），x₁≠x₂，由N为线段AB中点知x=

x1+x2

2

  ③，y=

y1+y2

2

=

x12+x22

8

    ④
切线MA，MB的方程为y=

x1

2

（x-x₁）+

x12

4

，⑤；y=

x2

2

（x-x₂）+

x22

4

⑥，
由⑤⑥得MA，MB的交点M（x₀，y₀）的坐标满足x₀=

x1+x2

2

，y₀=

x1x2

4

因为点M（x₀，y₀）在C₂上，即x₀²=-4y₀，所以x₁x₂=-

x12+x22

6

⑦
由③④⑦得x²=

4

3

y，x≠0
当x₁=x₂时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x²=

4

3

y
因此中点N的轨迹方程为x²=

4

3

y

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题