Question

15．若二次函数满足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=3
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）-kx，求g（x）在[0，2]的最小值ϕ（k）的表达式．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=3得c=3，由f（x+1）-f（x）=2x+3，得2ax+a+b=2x+3，解方程组求出a，b的值，从而求出函数的解析式；
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+3的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{k-2}{2}$为对称轴的抛物线，分类讨论给定区间与对称轴的关系，可得不同情况下ϕ（k）的表达式．

解答 解：设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=3得c=3，
故f（x）=ax²+bx+3．
因为f（x+1）-f（x）=2x+3，
所以a（x+1）²+b（x+1）+3-（ax²+bx+3）=2x+3．
即2ax+a+b=2x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ a+b=3\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+3…4分；
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+3的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{k-2}{2}$为对称轴的抛物线，
当$\frac{k-2}{2}$＜0，即k＜2时，当x=0时，g（x）取最小值3；
当0≤$\frac{k-2}{2}$≤2，即2≤k≤6时，当x=$\frac{k-2}{2}$时，g（x）取最小值$\frac{-{k}^{2}+4k+8}{4}$；
当$\frac{k-2}{2}$＞2，即k＞6时，当x=2时，g（x）取最小值11-2k；
综上可得：ϕ（k）=$\left\{\begin{array}{l}3，k＜2\\ \frac{-{k}^{2}+4k+8}{4}，2≤k≤6\\ 11-2k，k＞6\end{array}\right.$，…12分．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．