Question

15．已知一个正四面体纸盒的棱长为$2\sqrt{6}$，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 在一个棱长为$2\sqrt{6}$的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长

解答 解：设球的半径为：r，由正四面体的体积得：
4×$\frac{1}{3}$×r×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$2\sqrt{6}$）²=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$2\sqrt{6}$）²×$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}-（\frac{2}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}•2\sqrt{6}）^{2}}$，
所以r=1，
设正方体的最大棱长为a，
∴3a²=2²，
∴a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B

点评 本题是中档题，考查正四面体的内接球的知识，球的内接正方体的棱长的求法，考查空间想象能力，转化思想，计算能力