Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₂⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中点，F是AB中点，AC=BC=1，AA₁=1．
（1）求证：CF∥平面AEB₁；
（2）求三棱锥C-AB₁E在底面AB₁E上的高．

Answer 1

分析：（1）取AB₁的中点G，联结EG，FG，易证四边形FGEC是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得CF∥平面AB₁E；
（2）依题意，可证得AC⊥BB₁，进而可证AC⊥平面EB₁C，结合已知，利用VC-AB1E=VA-EB1C即可求得三棱锥C-AB₁E在底面AB₁E上的高．

解答：解：（1）证明：取AB₁的中点G，联结EG，FG，
∵F、G分别是AB、AB₁中点，
∴FG∥BB₁，FG=

1

2

BB₁，
∵E为侧棱CC₁的中点，
∴FG∥EC，FG=EC，
所以四边形FGEC是平行四边形         …（4分）
∴CF∥EG，
∵CF?平面AB₁E，EG?平面AB₁E，
∴CF∥平面AB₁E．…（6分）
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥面ABC．
又∵AC?平面ABC，
∴AC⊥BB₁，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，BB₁∩BC=B．
∴AC⊥平面EB₁C，
∴AC⊥CB₁…（8分）
∴VA-EB1C=

1

3

S△EB1C•AC=

1

3

×（

1

2

×1×1）×1=

1

6

…（10分）
∵AE=EB₁=

2

，AB₁=

6

，
∴S△AB1E=

3

2

，
∵VC-AB1E=VA-EB1C，
∴三棱锥C-AB₁E的高为

3VC-AB1E

S△AB1E

=

3

3

…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的性质，考查三棱锥的体积轮换公式的运用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．