Question

【题目】已知函数．

（1）①若直线与的图象相切, 求实数的值；

②令函数，求函数在区间上的最大值．

（2）已知不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①；②当时，；当时，；（2）.

【解析】

（1）①设出切点(x0，y0)，结合导数的几何意义，根据切点在切线上，列出方程组求解即可；

②首先去掉绝对值符号，将函数化成分段函数的形式，利用导数研究即可得结果；

（2）分情况讨论，将恒成立问题转化为最值来处理，利用导数研究其最值，最后求得结果.

（1）①设切点(x0，y0)，，

所以，所以，

②因为在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0．

所以h(x)＝f(x)－|g(x)|＝＝

当0＜x＜1时，，，

当x≥1时，，，

所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且h(x)max＝h(1)＝0．

当0＜a＜1时，h(x)max＝h(1)＝0；

当a≥1时，h(x)max＝h(a)＝lna－a＋．

（2）令F(x)＝2lnx－k(x－)，x∈(1，＋∞)．

所以．设φ(x)＝－kx2＋2x－k，

①当k≤0时，F'(x)＞0，所以F(x)在(1，＋∞)上单调递增，又F(1)＝0，

所以不成立；

②当k＞0时，对称轴，

当时，即k≥1，φ(1)＝2－2k≤0,所以在(1，＋∞)上，φ(x)＜0，

所以F'(x)＜0，

又F(1)＝0，所以F(x)＜0恒成立；

当时，即0＜k＜1，φ(1)＝2－2k＞0，所以在(1，＋∞)上，由φ(x)＝0，x＝x0，

所以x∈(1，x0)，φ(x)＞0，即F'(x)＞0；x∈(x0，＋∞)，φ(x)＜0，即F'(x)＜0，

所以F(x)max＝F(x0)＞F(1)＝0，所以不满足F(x)＜0恒成立．

综上可知：k≥1.