Question

【题目】已知椭圆： 的离心率为，圆： 与轴交于点、， 为椭圆上的动点， ， 面积最大值为．　

（1）求圆与椭圆的方程；

（2）圆的切线交椭圆于点、，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ， .(2) .

【解析】试题分析：（1）由离心率公式和的关系，结合椭圆的定义可得 即为椭圆的焦点，可得 ，再由 位于椭圆短轴端点时， 的面积取得最大值 ，解方程即可得到 的值，即有圆和椭圆的方程；
（2）讨论直线的斜率不存在时，求得切线的方程，代入椭圆方程可得交点和弦长；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，运用直线和圆相切的条件，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，化为 的函数式，运用换元法和二次函数的最值求法，即可得到所求弦长的范围．

试题解析：（1）由题意得，解得，①

因为，所以，点、为椭圆的焦点，所以，

设，则，所以，当时， ，代入①解得，所以， ，

所以，圆的方程为，椭圆的方程为．

（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ， ，

因为直线与圆相切，所以，即，

联立消去可得，

，

， ，

，

令，则，所以， ，

所以，所以；

②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得， ， ．

综上， 的取值范围是．