Question

已知在△ABC中，两中线AD、BE互相垂直，求

tanC

tanA

+

tanC

tanB

．

Answer 1

考点：解三角形

专题：解三角形

分析：设出三角形的三条边长，利用中点得到BD=CD=

a

2

，AE=EC=

b

2

，DE=

1

2

AB=

c

2

．然后由直角三角形中的余弦定理得到5c²=a²+b²．把要求解的式子先化切为弦，然后结合正弦定理和余弦定理得答案．

解答： 解：如图，
△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，
∵AD⊥BE，∴∠BOA=90°，
又D与E分别为BC，AC的中点，
∴BD=CD=

a

2

，AE=EC=

b

2

．
DE=

1

2

AB=

c

2

．
①在Rt△BOD中，BO2+DO2=(

a

2

)2．
②在Rt△AOE中，AO2+EO2=(

b

2

)2．
③在Rt△EOD中，DO2+EO2=(

c

2

)2．
④在Rt△AOB中，BO²+AO²=c²．
由①+②=③+④得：5c²=a²+b²．
∴

tanC

tanA

+

tanC

tanB

=tanC•

sinBcosA+sinAcosB

sinAsinB

=tanC•

sin(A+B)

sinAsinB

=

sin2C

sinAsinBcosC

．
由正弦定理得：

sin2C

sinAsinB

=

c2

ab

，
∴上式=

c2

ab•cosC

=

c2

ab• a2+b2-c2 2ab

=

1

2

．

点评：本题考查了三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的应用，解答此题的关键在于由已知得到a，b，c的关系式，是中档题．