Question

设a、b∈R，关于x的方程x²+ax+b=0的实根为α、β．若|a|+|b|＜1，求证：|α|＜1，|β|＜1．

Answer 1

分析：由于方程x²+ax+b=0的实根为α、β，由韦达定理（根与系数的关系）我们可以给出a，b，α，β之间的关系，再结合|a|+|b|＜1，我们可以得到一个关于|α|，|β|的不等式，根据不等式的性质易得：|α|＜1，|β|＜1；当然分析待证结果：：|α|＜1，|β|＜1，我们可知，要证：|α|＜1，|β|＜1即证方程x²+ax+b=0的实根为α、β，均介于-1到1之间．

解答：证明：法一：∵α+β=-a，αβ=b，
∴|α+β|+|αβ|=|a|+|b|＜1．
∴|α|-|β|+|α||β|＜1，（|α|-1）（|β|+1）＜0．
∴|α|＜1．同理，|β|＜1．
法二：设f（x）=x²+ax+b，则有
f（1）=1+a+b＞1-（|a|+|b|）＞1-1=0，
f（-1）=1-a+b＞1-（|a|+|b|）＞0．
∵0≤|a|＜1，∴-1＜a＜1．
∴-

1

2

＜-

a

2

＜

1

2

．
∴方程f（x）=0的两实根在（-1，1）内，即|α|＜1，|β|＜1．

点评：证法一先利用韦达定理，再用绝对值不等式的性质恰好能分解因式，但在使用绝对值不等式的性质比较难转化，是此法证明问题的一个瓶颈；证法二考虑根的分布，证两根在（-1，1）内，我们可以利用函数零点存在定理进行判断，故建议大家熟练掌握．