Question

设a、b∈R，关于x的方程x²+ax+b=0的实根为α、β．若|a|+|b|＜1，求证：|α|＜1，|β|＜1．

Answer 1

证明：法一：∵α+β=-a，αβ=b，
∴|α+β|+|αβ|=|a|+|b|＜1．
∴|α|-|β|+|α||β|＜1，（|α|-1）（|β|+1）＜0．
∴|α|＜1．同理，|β|＜1．
法二：设f（x）=x²+ax+b，则有
f（1）=1+a+b＞1-（|a|+|b|）＞1-1=0，
f（-1）=1-a+b＞1-（|a|+|b|）＞0．
∵0≤|a|＜1，∴-1＜a＜1．
∴-

1

2

＜-

a

2

＜

1

2

．
∴方程f（x）=0的两实根在（-1，1）内，即|α|＜1，|β|＜1．