Question

已知函数f（x）=ax-xlnx，a∈R．
（1）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；
（2）设n∈N^*，求证：ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）函数f（x）=ax-xlnx，a∈R．x＞0．f（x）≤1恒成立?a≤(

1

x

+lnx)min．令g（x）=

1

x

+lnx（x＞0），利用导数求出最小值即可得出．
（2）由（1）可得：当x＞1时，

1

x

+lnx＞1，化为lnx＞1-

1

x

，令x=1+

1

n

，n∈N^*，n≥2．可得ln(1+

1

n

)＞1-

n

1+n

=

1

1+n

，可得ln（1+n）-lnn＞

1

1+n

，分别取n=1，2，3，…，利用“累加求和”．

解答： （1）解：函数f（x）=ax-xlnx，a∈R．x＞0．f（x）≤1恒成立?a≤(

1

x

+lnx)min．
令g（x）=

1

x

+lnx（x＞0），g′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
当x＞1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．
∴g（x）_min=g（1）=1，∴a≤1．
∴a的取值范围是（-∞，1]．
（2）证明：由（1）可得：当x＞1时，

1

x

+lnx＞1，
化为lnx＞1-

1

x

，
令x=1+

1

n

，n∈N^*，n≥2．
则ln(1+

1

n

)＞1-

n

1+n

=

1

1+n

，
∴ln（1+n）-lnn＞

1

1+n

，
分别取n=1，2，3，…，
可得ln2-ln1＞

1

2

，
ln3-ln2＞

1

3

，
…，
ln（n+1）-lnn＞

1

1+n

．
累加求和可得：ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．