Question

根据函数单调性定义，判断并证明函数y=

ax

x2+1

，a≠1在区间（-1，1）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据单调性的定义，设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，讨论a的符号，判断y₁-y₂的符号即可得出原函数的单调性．

解答： 解：设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则：
y1-y2=

ax1

x12+1

-

ax2

x22+1

=

a(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)(x22+1)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0；
∴a＞0时，y₁＜y₂，∴函数y在（-1，1）上单调递增；
a＜0时，y₁＞y₂，∴函数y在（-1，1）上单调递减．

点评：考查函数单调性的定义，并根据函数单调性定义判断函数的单调性，在作差求y₁-y₂时，一般要写成因式乘积的形式．