Question

【题目】设f（x）=ex﹣ax（a∈R），e为自然对数的底数．
（1）若a=1时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=ex﹣x，

所以f′（x）=ex﹣1；

∴f′（0）=e0﹣1=0，f（0）=e0﹣0=1；

所以曲线y=f（x）在x=0的切线方程为y=1

（2）解：f′（x）=ex﹣a；

（i）当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，即函数f（x）在[0，1]上为增函数，

所以函数f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）=1

（ii）当a＞0时，令f′（x）=0得到x=lna；

若lna≤0，即0＜a≤1时，在[0，1]上，f′（x）＞0，函数f（x）在[0，1]上为增函数，

所以函数f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）=1；

若lna≥1，即a≥e时，在[0，1]上，f′（x）＜0，函数f（x）在[0，1]上为减函数，

所以函数f（x）在[0，1]上的最小值为f（1）=e﹣a；

若0＜lna＜1，即1＜a＜e时，在[0，lna）上f′（x）＜0，在（lna，1]上f′（x）＞0，

即函数f（x）在[0，lna）上单调递减，在（lna，1]上单调递增，

所以函数f（x）在[0，1]上的最小值为f（lna）=a﹣alna；

综上所述，当a≤1时，函数f（x）在[0，1]上的最小值为1；

当1＜a＜e时，函数f（x）在[0，1]上的最小值为e﹣a；

当a≥e时，函数f（x）在[0，1]上的最小值为a﹣alna

【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），f（0），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．
【考点精析】掌握函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．