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    (本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

    如图，锐角△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点.

    (Ⅰ)求证：四点A，I，H，E共圆；

    (Ⅱ)若∠C＝50°，求∠IEH的度数.

     

    【答案】

    证明：（Ⅰ）由圆I与边AC相切于点E，得IE⊥AE.   ……2分

    结合IH⊥AH，得∠AEI＝∠AHI＝90°.

    所以，四点A，I，H，E共圆.                      ……5分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知四点A，I，H，E共圆，

    得，∠IEH＝∠HAI；              ……7分

    在△HIA中，∠HIA＝∠ABI＝∠BAI＝∠B＝∠A＝（∠B＋∠A）＝（180°－∠C）＝90°－∠C.

    结合IH⊥AH，得∠HAI－90°－∠HIA＝∠C；

    所以∠IEH＝∠C.

    由∠C＝50°，得，∠IEH＝25°.　　　　　　……10分

     

    【解析】略

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．[选修4-1：几何证明选讲]
    已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至点E．
    求证：AD的延长线平分∠CDE
    B．[选修4-2：矩阵与变换]
    已知矩阵A=
    12
    -14

    （1）求A的逆矩阵A-1；
    （2）求A的特征值和特征向量．
    C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
    已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
    x=
    1
    2
    t
    y=
    		3
    2
    t+1
    （t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．
    D．[选修4-5，不等式选讲]（本小题满分10分）
    设a，b，c均为正实数，求证：
    1
    2a
    +
    1
    2b
    +
    1
    2c
    ≥
    1
    b+c
    +
    1
    c+a
    +
    1
    a+b
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题包括（1）、（2）、（3）、（4）四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内答，
    若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    （1）、选修4-1：几何证明选讲
    如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA
    （2）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
    若点A（2，2）在矩阵M=
    cosα-sinα
    sinαcosα
    对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵
    （3）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
    在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值．
    （4）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
    已知a1，a2…an都是正数，且a1•a2…an=1，求证：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    必做题：（本小题满分10分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
    已知an（n∈N*）是二项式（2+x）n的展开式中x的一次项的系数．
    （Ⅰ）求an；
    （Ⅱ）是否存在等差数列{bn}，使an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切正整数n都成立？并证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本小题满分10分）数学的美是令人惊异的！如三位数153，它满足153=13+53+33，即这个整数等于它各位上的数字的立方的和，我们称这样的数为“水仙花数”．请您设计一个算法，找出大于100，小于1000的所有“水仙花数”．
    （1）用自然语言写出算法；
    （2）画出流程图．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）
    求矩阵A=
    32
    21
    的逆矩阵．

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