Question

已知常数p＞0且p≠1，数列{a_n}前n项和Sn=

p

1-p

(1-an)数列{b_n}满足b_n+1-b_n=log_pa_2n-1且b₁=1，
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若对于区间[0，1]上的任意实数λ，总存在不小于2的自然数k，当n≥k时，b_n≥（1-λ）（3n-2）恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

p

1-p

(1-an)-

p

1-p

(1-an-1)，整理得a_n=pa_n-1，由a_n＞0，知

an

an-1

=p，故数列{a_n}等比数列．
（2）由a_n=pⁿb_n+1-b_n=log_pa_2n-1=2n-1，知b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=n²-2n+2，故（n²-2n+2）≥（1-λ）（3n-2），变形为（3n-2）λ+n²-5n+4≥0在λ∈[0，1]时恒成立．由此能求出k的最小值．

解答：解：（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

p

1-p

(1-an)-

p

1-p

(1-an-1)整理得a_n=pa_n-1又a1=S1=

p

1-p

(1-a1)?a1=p＞0
恒有a_n＞0从而

an

an-1

=p数列a_n等比数列
（2）由（1）知a_n=pⁿb_n+1-b_n=log_pa_2n-1=2n-1∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）++（b₂-b₁）+b₁=n²-2n+2
∴（n²-2n+2）≥（1-λ）（3n-2）变形为（3n-2）λ+n²-5n+4≥0在λ∈[0，1]时恒成立
记f（λ）=（3n-2）λ+n²-5n+4则有：

f(0)≥0 f(1)≥0

?n≥4或n≤1但由于n≥2∴n≥4
综上知：k的最小值为4

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意等比数列的证明．