Question

（2012•闸北区一模）已知△ABC的面积为1，且满足

AB

•

AC

≥2，设

AB

和

AC

的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f(θ)=

3

cos2θ-2cos2(θ+

π

4

)的最小值．

Answer 1

分析：（1）由三角形的面积公式可得，

1

2

bcsinθ=1，结合向量的数量积的定义可得bccosθ≥2，联立可求θ的范围
（2）由二倍角公式及辅助角公式可把已知函数化解为f（θ）=2sin(2θ+

π

3

)-1，结合正弦函数的性质可求最小值

解答：解：（1）设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则由

1

2

bcsinθ=1，bccosθ≥2，（4分）
可得0＜tanθ≤1，
∵θ∈[0，π]
∴θ∈(0，

π

4

]．（2分）
（2）f(θ)=

3

cos2θ+2cos2(θ+

π

4

)
=2sin(2θ+

π

3

)-1（5分）
∵θ∈(0，

π

4

]，∴2θ+

π

3

∈(

π

3

，

5π

6

 ]，
所以，当2θ+

π

3

=

5π

6

，即θ=

π

4

时，f（θ）_min=0（3分）

点评：本题主要考查了三角形的面积公式及向量的数量积的应用，二二倍角公式、辅助角公式的应用是求解（2）的关键