Question

7．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C₂的极坐标方程为θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），曲线C₁，C₂相交于点M，N，则弦MN的长为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 将两曲线极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，再由半径r的值，利用垂径定理及勾股定理求出MN的长即可．

解答 解：∵ρ=2sinθ，
∴ρ²=2ρsinθ，
又$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，且ρ²=x²+y²，
∴x²+y²=2y，即C₁：x²+（y-1）²=1；
曲线C₂在直角坐标系中是过原点且倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线，即C₂：y=$\sqrt{3}$x，
∴圆心（0，1）到直线y=$\sqrt{3}$x的距离d=$\frac{1}{2}$，
∵圆的半径r=1，
∴由勾股定理可得，MN=2$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则弦MN的长为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了简单曲线的极坐标方程，将两曲线方程化为普通方程是解本题的关键．