Question

18．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=$\frac{1}{2}$PD=1．
（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（2）求二面角B-PC-Q的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先证明CD⊥平面PDAQ，可得CD⊥PQ；再由勾股定理得逆定理证得PQ⊥QD．再利用直线和平面垂直的判定定理证得PQ⊥平面DCQ，从而证得平面PQC⊥平面DCQ．
（2）如图建立空间坐标系，再求得平面的BPC法向量$\overrightarrow{n}$ 的坐标，同理求得平面PCQ的法向量$\overrightarrow{m}$ 的坐标，求得cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$ 的值，即为所求．

解答 解：（1）由题意可得QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD．
由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，又QA、AD?平面PDAQ，QA∩AD=A，
∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD，
∴PQ²+DQ²=PD²．
由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．
又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，
∴PQ⊥平面DCQ．
再由PQ?平面PQC，可得平面PQC⊥平面DCQ．
（2）如图，建立以D为坐标原点，DA，DP，DC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵QA=AB=$\frac{1}{2}$PD=1，∴PD=2，
则Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），B（1，0，1），
$\overrightarrow{CB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{BP}$=（-1，2，-1）．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面的PBC法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{-x+2y-z=0}\end{array}\right.$，
可取 $\overrightarrow{n}$=（ 0，-1，-2）．
同理求得平面PCQ的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．
则$\overrightarrow{PC}$=（0，-2，1），$\overrightarrow{QP}$=（-1，1，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-2y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QP}=-x+y=0}\end{array}\right.$，令y=1，则x=1，z=2，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，2）．
所以cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1-2×2}{\sqrt{1+4}•\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{-5}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=-$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∵二面角B-PC-Q是锐二面角，
即二面角二面角B-PC-Q的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．