Question

[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=|x|-[x]
①f（x）的定义域为R；
②f（x）的值域为（0，1]；
③f（x）是偶函数；
④f（x）不是周期函数；
⑤f（x）的单调增区间为（k，k+1）（k∈N）．
上面的结论正确的个数是（　　）

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据新定义的函数f（x）=x-[x]，可以画出其图象根据图象对①②③④⑤5个选项逐一判断即可．

解答： 解：[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=|x|-[x]，当x为整数时，f（x）=0，
作出函数f（x）的图象如下：

由图可以看出，函数f（x）的定义域为R，①正确；
当0≤x＜1时，f（x）=x-[x]=x-0=x，
∴函数{x}的值域为（0，1]，②都正确；
由图可知，函数f（x）的图象不关于y轴对称，故f（x）不是偶函数，③错误；
又∵f（x+1）=（x+1）-[x+1]=x-[x]=f（x），
∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，每隔一个单位重复一次，④错误；
由图可得，f（x）的单调增区间为（k，k+1）（k∈N），⑤正确；
综上所述，结论正确的个数是3个，为①②⑤，③④错误．
故选：A．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，作图是关键，考查函数f（x）=|x|-[x]的图象与奇偶性、单调性、周期性及定义域、值域等性质，属于中档题．