Question

PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是________．

Answer 1

①②③
分析：对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于④利用反证法进行证明，假设AE⊥面PBC，而AF⊥面PCB，则AF∥AE，显然不成立，从而得到结论．
解答：解：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面
∴PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A
∴BC⊥面PAC，又∵AF?面PAC，∴AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C
∴AF⊥面PCB，而BC?面PCB，∴AF⊥BC，故③正确；
而PB?面PCB，
∴AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A
∴PB⊥面AEF，
而EF?面AEF，AF?面AEF
∴EF⊥PB，AF⊥PB，故①②正确，
∵AF⊥面PCB，假设AE⊥面PBC
∴AF∥AE，显然不成立，故④不正确．
故答案为：①②③．
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面垂直的性质，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．