Question

如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，∠ABC=30°，PA=AB．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直线PC与平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）根据线面所成角的定义，先确定∠PCA为直线PC与平面ABC所成角，然后进行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵PA⊥⊙O所在的平面，
∴PA⊥面ABC
∵BC?面ABC，PA⊥面ABC，
∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，AC⊥BC，PA⊥BC，
∴BC⊥面PAC，
∵BC⊥面PAC，BC?面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）∵PA⊥面ABC，AC?面ABC，
∴AC是PC在底面上的射影，
∴∠PCA为直线PC与平面ABC所成角，
∴直线PC与平面ABC所成角的正切值tan∠PCA=

PA

AC

为直线PC与平面ABC所成角．
∵∠ABC=30°，PA=AB．
∴AC=

1

2

AB=

1

2

PA，
即PA=2AC，
∴tan∠PCA=

PA

AC

=

2AC

AC

=2．

点评：本题主要考查面面垂直的判定和直线和平面所成角的大小，利用面面垂直的判定定理，和线面所成角的求法是解决本题的关键．