Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴为极轴的极坐标系中，圆的方程．

（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

（2）若点的直角坐标为，圆与直线交于两点，求弦中点的直角坐标和的值．

Answer 1

【答案】（1）直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为（2）弦的中点，

【解析】

(1)消去参数t可得直线的参数方程，利用极坐标化直角坐标的方法可得圆的直角坐标.

(2)联立直线的参数方程和圆的直角坐标方程，结合参数方程的几何意义和韦达定理即可确定中点坐标和的值.

（1）由（为参数），得直线的普通方程为．

又由得圆的直角坐标方程为，即，

．

（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，

得，即．

由于，故可设是上述方程的两实数根，则

又直线过点，两点对应的参数分别为，

弦的中点对应的参数，

代入参数方程中得其直角坐标为

．