Question

已知a∈R，试求关于x的不等式（a+1）x²+2x+1＞0的解集．

Answer 1

分析：通过对a+1和△与0的关系分类讨论，再利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答：解：（1）a=-1时，不等式为2x+1＞0，解集为(-

1

2

，+∞)；
（2）a＞-1时，△=4-4a-4=-4a．
①若△＜0即a＞0，则不等式的解集为R；
②若△=0即a=0，则不等式为x²+2x+1＞0，解集为{x|x≠-1}；
③若△＞0即-1＜a＜0，相应方程两根为x1=

-1- -a

a+1

，x2=

-1+ -a

a+1

，且x₁＜x₂，故解集为(-∞，

-1- -a

a+1

)∪(

-1+ -a

a+1

，+∞)；
（3）a＜-1时，△=4-4a-4=-4a＞0，相应方程两根为x1=

-1- -a

a+1

，x2=

-1+ -a

a+1

，且∵x1-x2=

-2 -a

a+1

＞0，∴x₁＞x₂．
故解集为(

-1+ -a

a+1

，

-1- -a

a+1

)．
综上可得：a＞0时，不等式的解集为R；
a=0时，不等式的解集为{x|x≠-1}；
-1＜a＜0时，不等式的解集为(-∞，

-1- -a

a+1

)∪(

-1+ -a

a+1

，+∞)；
a=-1时，不等式的解集为(-

1

2

，+∞)；
a＜-1时，不等式的解集为(

-1+ -a

a+1

，

-1- -a

a+1

)．

点评：本题考查了分类讨论、一元二次不等式的解法、一元二次方程的解法等基础知识与基本技能方法，属于难题．