Question

如图：设一正方形ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，使A、B、C、D四点重合，记为A点．恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心．
（Ⅰ）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V；
（Ⅱ）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S的范围．

Answer 1

分析：（I）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD中，三角形APQ为等边三角形，由此先计算出此正四棱锥的棱长，再利用正棱锥的性质计算其体积即可；
（II）先利用等腰三角形APQ的底角为x的特点，将侧棱长和底边长分别表示为x的函数，再利用棱锥的体积计算公式将棱锥体积表示为关于x的函数，最后可利用均值定理求函数的值域

解答：解：（I）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD中，三角形APQ为等边三角形，设边长为a，
∵正方形ABCD边长为2分米，∴AH=

3

2

a=

AC-a

2

=

2 2 -a

2

，解得a=

2 2

1+ 3

=

6

-

2

∴正四棱锥的棱长a=

6

-

2

∴PO=

2

2

a，AO=

AP2-PO2

=

2

2

a，
∴V=

1

3

×a²×AO=

2

6

a³=

2

6

×（

6

-

2

）³=4

3

-

20

3

（II）∵AH=

1

2

PQ×tanx=

AC-PQ

2

=

2 2 -PQ

2

=

2

-

1

2

PQ
∴PQ=

2 2

1+tanx

，AH=

2 tanx

1+tanx

∴S=4×

1

2

×PQ×AH
=2×PQ×AH
=2×

2 2

1+tanx

×

2 tanx

1+tanx

=

8tanx

(1+tanx) 2

   x∈[

π

4

，

π

2

）
∵S=

8tanx

(1+tanx) 2

=

8tanx

1+tan2x+2tanx

=

8

1 tanx +tanx+2

≤

8

2+2

=2   （当且仅当tanx=1即x=

π

4

时取等号）
而tanx＞0，故s＞0
∵S等于2时三角形APQ是等腰直角三角形，顶角PAQ等于90°，阴影部分不存在，折叠后A与O重合，构不成棱锥，∴S的范围为（0，2）．

点评：本题主要考查了正四棱锥的几何性质，正四棱锥中的棱长、高、体积的计算，建立函数模型并求其最值的方法，有一定的难度