Question

3．已知双曲线2x²-y²=2上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在直线y=2x+4上，则实数m的值为$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 由题意可得MN的斜率-1，设直线MN：y=-x+b，把MN的方程代入双曲线方程利用韦达定理、中点公式求出MN中点P（-$\frac{m}{4}$，$\frac{3}{4}$m），利用MN的中点在直线y=2x+4上，即可求得实数m的值．

解答 解：∵MN关于y=x+m对称，∴MN的垂直平分线y=x+m，故MN的斜率-1．
MN中点P（x₀，x₀+m）在y=x+m上，且在MN上，
设直线MN：y=-x+b，∵P在MN上，∴x₀+m=-x₀+b，∴b=2x₀+m．
由y=-x+b与双曲线2x²-y²=2，消元可得：2x²+2bx-b²-2=0，
∴x_M+x_N=2x₀=-b，∴x₀=-$\frac{b}{2}$，∴b=$\frac{m}{2}$，∴MN中点P（-$\frac{m}{4}$，$\frac{3}{4}$m）．
∵MN的中点在直线y=2x+4上，∴$\frac{3}{4}$m=-$\frac{m}{2}$+4，求得m=$\frac{16}{5}$，
故答案为：$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定MN中点P的坐标，属于中档题．