Question

给出封闭函数的定义：若对于定义域内任意一个自变量x都有函数值f（x₀）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．若定义域D=（0，1），则下列函数为封闭函数的是（　　）
①f₁（x）=4x-1  ②f₂（x）=-

1

2

x²-

1

2

x+1  ③f₃（x）=x+

1

x

  ④f₄（x）=x

1

2

．

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：根据封闭函数的定义，当定义域D=（0，1）时，对①②③④逐个分析即可得答案．

解答：解：当定义域D=（0，1）时，显然①f₁（x）=4x-1∉D，不是封闭函数；
对于②，f₂（x）=-

1

2

x²-

1

2

x+1=-

1

2

(x+

1

2

)2+

9

8

，
∵0＜x＜1，
∴f₂（x）在（0，1）上单调递减；
∴f₂（x₀）∈（0，1]=D，即②是封闭函数；
对于③，当定义域D=（0，1）时，f₃（x）=x+

1

x

∈（2，+∞），显然不是封闭函数；
对于④，当定义域D=（0，1）时，f₄（x）=x

1

2

∈（0，1）=D，即④是封闭函数；
综上所述，②④是封闭函数．
故选D．

点评：本题考查函数的值域，考查一次函数、二次函数、双钩函数与幂函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．