Question

19．已知函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且f（1）=5．
（1）判断函数f（x）在（2，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．
（2）若f（x）≥a对于x∈[4，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=1+m=5，得m=4，从而f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，进而函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，利用定义法能证明函数f（x）在（2，+∞）上是单调递增函数；
（2）由f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，得函数f（x）在[4，+∞）上单调递增，从而x∈[4，+∞）时，f（x）≥f（4）=4+$\frac{4}{4}$=5，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且f（1）=5，
∴f（1）=1+m=5，解得m=4，
∴f（x）=x+$\frac{4}{x}$，∴f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
证明：在（2，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=（${x}_{2}+\frac{4}{{x}_{2}}$）-（${x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}$）
=（x₂-x₁）+$\frac{4}{{x}_{2}}-\frac{4}{{x}_{1}}$）
=（x₂-x₁）+$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$（x₁-x₂）
=（1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$）（x₂-x₁）＞0，
∴函数f（x）在（2，+∞）上是单调递增函数．
（2）∵f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
x∈[4，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[4，+∞）上单调递增，
∴x∈[4，+∞）时，f（x）≥f（4）=4+$\frac{4}{4}$=5，
∵f（x）≥a对于x∈[4，+∞）恒成立，
∴实数a的取值范围是（-∞，5]．

点评 本题考查函数的单调性质的判断与证明，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．