Question

【题目】一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设D（t，0），|t|≤2，

N（x0，y0），M（x，y），由题意得 =2 ，

且| |=| |=1，

∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且 ，

即 ，且t（t﹣2x0）=0，

由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，

于是t=2x0，故x0= ，y0=﹣ ，

代入x02+y02=1，得方程为 ．

（2）解：①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ= ，

②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k ），

由 消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，

∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，

∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，

由 ，可得P（ ， ），同理得Q（ ， ），

原点O到直线PQ的距离d= 和|PQ|= |xP﹣xQ|，

可得S△OPQ= |PQ|d= |m||xP﹣xQ|= |m|| |=| |②，

将①代入②得S△OPQ=| |=8| |，

当k2＞ 时，S△OPQ=8（ ）=8（1+ ）＞8，

当0≤k2＜ 时，S△OPQ=8| |=﹣8（ ）=8（﹣1+ ），

∵0≤k2＜ 时，∴0＜1﹣4k2≤1， ≥2，

∴S△OPQ=8（﹣1+ ）≥8，当且仅当k=0时取等号，

∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，

综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．

【解析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．