Question

已知曲线C：

（1）当为何值时，曲线C表示圆；

（2）在（1）的条件下，若曲线C与直线交于M、N两点，且，求的值.

（3）在（1）的条件下，设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在实数使得以为直径的圆过原点,.

【解析】

试题分析：（1）二元二次方程表示圆的充要条件为（2）（2）直线和圆相交，根据半径，弦长的一半，圆心距求弦长.（3）圆的弦长的常用求法：（1）几何法：求圆的半径，弦心距，弦长，则（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式；（3）与圆有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用直线与圆的位置关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.

试题解析：解 ：（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5． 3分

（2），即，

所以圆心C（1,2），半径， 4分

圆心C（1,2）到直线的距离 5分

又，，即，． 6分

（3）假设存在实数使得以为直径的圆过原点，则，设，则， 7分

由得， 8分

，即，又由（1）知，

故 9分

10分

11分

12分

故存在实数使得以为直径的圆过原点，． 13分

考点：（1）二元二次方程表示圆的条件；（2）弦长公式的应用；（3）探索性问题.