Question

（2012•肇庆二模）若对于定义在R上的函数f（x），其函数图象是连续的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是“λ-同伴函数”．下列关于“λ-同伴函数”的叙述中正确的是（　　）

• A．“

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  2

  -同伴函数”至少有一个零点
• B．f（x）=x²是一个“λ-同伴函数”
• C．f（x）=log₂x是一个“λ-同伴函数”
• D．f（x）=0是唯一一个常值“λ-同伴函数”

Answer 1

分析：令x=0，可得f(

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)=-

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f(0)．若f（0）=0，f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f(

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)•f(0)=-

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(f(0))2＜0．可得f（x）在(0，

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)上必有实根，可判断A
假设f（x）=x²是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）²+λx²=0，则有λ+1=2λ=λ²=0，解方程可判断B
因为f（x）=log₂x的定义域不是R可判断C
设f（x）=C则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，可判断D

解答：解：令x=0，得f(

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)+

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f(0)=0．所以f(

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)=-

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f(0)．若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f(

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)•f(0)=-

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(f(0))2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在(0，

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)上必有实数根．因此任意的“

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-同伴函数”必有根，即任意“

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-同伴函数”至少有一个零点．：A正确，
用反证法，假设f（x）=x²是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，所以f（x）=x²不是一个“λ-同伴函数”．B错误
因为f（x）=log₂x的定义域不是R．C错误
设f（x）=C是一个“λ-同伴函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”．D错误，

点评：本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ-同伴函数的定义，是解答本题的关键．