Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率等于

1

3

，其焦点分别为A、B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，

sinA+sinB

sinC

的值等于

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,正弦定理的应用

专题：解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆的方程，定义求出|AC|+|BC|=2a，|AB|=2c，根据正弦定理

sinA+sinB

sinC

=

2R

2R

（

sinA+sinB

sinC

）=

|AC|+|BC|

|AB|

=

2a

2c

=

a

c

，即可求解．

解答： 解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距为c，
∴其焦点分别为A（-c，0）、B（c，0），
∵C（x₀，y₀）为椭圆上异于长轴端点的任意一点，
∵在△ABC中，
∵离心率等于

1

3

，
∴

a

c

=3，
故答案为：3

点评：本题综合考察了椭圆的定义，方程，几何意义，以及正弦定理的应用，属于中档题．