Question

若不等式4^x-a2^x+1+a²-1≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为

（-∞，1]∪[5，+∞）

．

Answer 1

分析：设2^x=t，用换元法把4^x-a2^x+1+a²-1≥0化成t²-2at+a²-1≥0，转化为求二次函数的恒成立问题，即可求出答案．

解答：解：设2^x=t，∵1≤x≤2，则2≤t≤4，
原式可化为：t²-2at+a²-1≥0，令f（t）=t²-2at+a²-1=（t-a）²-1，
①当a≤2时，y在[2，4]上为增函数，
故当t=2时，y取最小值f（2），
要使t²-2at+a²-1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（2）≥0即可，
∴a≤1，
②当a≥4时，y在[2，4]上为减函数，
故当t=4时，y取最小值f（4），
要使t²-2at+a²-1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（4）≥0即可，
∴a≥5，
③当2＜a＜4时，y在[2，a]上为减函数，在[a，4]上为增函数
故当t=a时，y取最小值f（a），
要使t²-2at+a²-1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（a）≥0即可，
∴a∈∅，
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，1]∪[5，+∞）
故答案为：（-∞，1]∪[5，+∞）．

点评：本题考查了函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，难度一般，关键是掌握换元法的应用．