Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y=4x+m对称，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，$\frac{2\sqrt{2}}{13}$）
• B． （-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，$\frac{2\sqrt{13}}{13}$）
• C． （-$\frac{\sqrt{2}}{13}$，$\frac{2\sqrt{13}}{13}$）
• D． （-$\frac{2\sqrt{3}}{13}$，$\frac{2\sqrt{3}}{13}$）

Answer 1

分析 设椭圆上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x₀，y₀），利用平方差法与直线y=4x+m可求得x₀=-m，y₀=-3m，点M（x₀，y₀）在椭圆内部，将其坐标代入椭圆方程即可求得m的取值范围．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，即：3x²+4y²-12=0，
设椭圆上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x₀，y₀），
则 3x₁²+4y₁²-12=0，①
3x₂²+4y₂²-12=0 ②
①-②得：3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，即 3•2x₀•（x₁-x₂）+4•2y₀•（y₁-y₂）=0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=-$\frac{1}{4}$．
∴y₀=3x₀，代入直线方程y=4x+m得x₀=-m，y₀=-3m；
因为（x₀，y₀）在椭圆内部，
∴3m²+4•（-3m）²＜12，即3m²+36m²＜12，解得-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$＜m＜$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
故选：B．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查平方差法的应用，突出化归思想的考查，属于难题．