Question

如右图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，且上底CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式，并求出它的定义域．

Answer 1

分析：如图所示，连接OD，OC，在△OAD中，若设∠AOD=θ，由余弦定理可得，cosθ=

2R2-x2

2R2

；在△OCD中，由∠COD=180°-2θ，可得DC²=2R²-2R²•cos（180°-2θ），从而得DC；即得梯形的周长y和x的取值范围．

解答：解：如图所示，连接OD，OC，则OC=OD=OA=OB=R，
在△OAD中，设∠AOD=θ，AD=x，由余弦定理，得
x²=2R²-2R²•cosθ，θ∈（0，90°），∴cosθ=

2R2-x2

2R2

；
在△OCD中，∠COD=180°-2θ，同理
DC²=2R²-2R²•cos（180°-2θ）=2R²（1+cos2θ）=2R²•2cos²θ=4R²•cos²θ，
∴DC=2R•cosθ=2R•

2R2-x2

2R2

=2R-

x2

R

；
所以梯形的周长：y=2R+2x+（2R-

x2

R

）=-

x2

R

+2x+4R；
∵x²=2R²-2R²•cosθ＜2R²，∴x＜

2

R，∴定义域为（0，

2

R）．

点评：本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，也考查了二倍角公式的灵活应用；解题时应细心计算，以避免出现错误．