Question

13．已知二次函数y=x²-（a+2）x+a．
（1）求证：不论a为任何实数，函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）试求：当a为何值时，函数图象与x轴的两个交点之间的距离等于2；
（3）函数图象与x轴的两个交点分别位于x=2的两侧，a的取值如何？

Answer 1

分析 （1）证明：△=（a+2）²-4a=a²+4＞0即可；
（2）利用|x₁-x₂|=$\sqrt{△}$=$\sqrt{{a}^{2}+4}$=2，可求出a的值；
（3）由题意，f（2）＜0，即可求出a的值．

解答 （1）证明：△=（a+2）²-4a=a²+4＞0，
∴不论a为任何实数，函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）解：设二次函数图象与x轴两交点的横坐标分别为x₁，x₂，
则|x₁-x₂|=$\sqrt{△}$=$\sqrt{{a}^{2}+4}$=2，
∴a=0，即a=0时，函数图象与x轴的两个交点之间的距离等于2；
（2）解：由题意，f（2）＜0，即4-2（a+2）+2＜0，∴a＞1．

点评 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系等知识．