Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{{{（1+cos2x）}^2}-2cos2x-1}}{{sin（\frac{π}{4}+x）sin（\frac{π}{4}-x）}}$．
（1）求f（-$\frac{11π}{12}$）的值；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{4}$）时，求g（x）=$\frac{1}{2}$f（x）+sin2x的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得f（-$\frac{11π}{12}$）的值．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{{{{（1+cos2x）}^2}-2cos2x-1}}{{sin（\frac{π}{4}+x）cos（\frac{π}{4}+x）}}=\frac{{{{cos}^2}2x}}{{\frac{1}{2}sin（\frac{π}{2}+2x）}}=\frac{{2{{cos}^2}2x}}{cos2x}=2cos2x$，
∴$f（-\frac{11π}{12}）=2cos（-\frac{11π}{12}）=2cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}$．
（2）$g（x）=cos2x+sin2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
∵$x∈[0，\frac{π}{4}）$，
∴$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
∴当$x=\frac{π}{8}$时，g（x）有最大值$\sqrt{2}$；当x=0时，g（x）有最小值1．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．