Question

已知平面向量

a

与

b

的夹角为

π

6

，|

a

|=

3

，|

b

|=1，则|

a

-

b

|=

 

；若平行四边形ABCD满足

AB

=

a

+

b

，

AD

=

a

-

b

，则平行四边形ABCD的面积为

 

．

Answer 1

分析：根据向量数量积的公式，算出

a

•

b

=

3

2

，进而得出（

a

-

b

）²=|

a

|²-2

a

•

b

+|

b

|²=1，可得|

a

-

b

|=

( a - b )2

=1；同理算出|

a

+

b

|=

7

，利用向量的夹角公式算出

a

+

b

与

a

-

b

夹角的余弦cos∠BAD，再根据同角三角函数的关系算出sin∠BAD的值，由平行四边形的面积公式即可算出四边形ABCD的面积．

解答：解：∵

a

与

b

的夹角为

π

6

，|

a

|=

3

，|

b

|=1，
∴

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos

π

6

=

3

2

，
可得（

a

-

b

）²=|

a

|²-2

a

•

b

+|

b

|²=3-2×

3

2

+1=1，
∴|

a

-

b

|=

( a - b )2

=1；
∵（

a

+

b

）²=|

a

|²+2

a

•

b

+|

b

|²=3+2×

3

2

+1=7，
∴|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

7

设

a

+

b

、

a

-

b

的夹角为α，即∠BAD=α，
∴cosα=

( a + b )•( a - b )

| a + b |•| a - b |

=

| a |2-| b |2

| a + b |•| a - b |

=

3-1

7 ×1

=

2 7

7

，
∵α∈（0，π），∴sinα=

1-cos2α

=

21

7

，
因此，平行四边形ABCD的面积为
S=

|AB|

•

|AD|

•sin∠BAD=|

a

+

b

|•|

a

-

b

|sinα=1×

7

×

21

7

=

3

．
故答案为：1，

3

点评：本题给出向量

a

与

b

的模与夹角，求|

a

-

b

|的值并依此求平行四边形的面积．着重考查了向量数量积的公式、向量模的公式和平行四边形的面积计算等知识，属于中档题．