某中学将100名高一新生分成水平相同的甲.乙两个“平行班 .每班50人.陈老师采用A.B两种不同的教学方式分别在甲.乙两个班进行教改实验.为了了解教学效果.期末考试后.陈老师对甲.乙两个班级的学生成绩进行统计分析.画出频率分布直方图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀．(1)从乙班随机抽取2名学生的成绩.记“成绩优秀的个数为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验，为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．

（1）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计

附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

P（K²≥k）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

分析（1）由频率分布直方图，得乙班“成绩优秀”人数为4，ξ可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）由频率分布直方图得甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12，38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4，46，作出列联表，求出K²的观测值，由此能判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

解答解：（1）由频率分布直方图，得乙班“成绩优秀”人数为4，ξ可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{46}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{207}{245}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{46}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{184}{1225}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{6}{1225}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{207}{245}$	$\frac{184}{1225}$	$\frac{6}{1225}$

∴Eξ=$0×\frac{207}{245}+1×\frac{184}{1225}+2×\frac{6}{1225}$=$\frac{4}{25}$．
（2）由频率分布直方图得甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12，38，
乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4，46，

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	总计
成绩优秀	12	4	16
成绩不优秀	38	46	84
总计	50	50	100

根据列联表中数据，K²的观测值：
K²=$\frac{100×（12×46-4×38）^{2}}{16×84×50×50}$≈4.762，
∵4.762＞3.841，∴在错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用．

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