Question

已知正三棱锥的底面边长是6，侧棱与底面所成角为60°，则此三棱锥的体积为

18

3

．

Answer 1

分析：三棱锥O-ABC的侧棱与底面ABC所成的角都是60°，故O-ABC是正三棱锥．由此入手，能够求出此三棱锥的体积．

解答：解：∵三棱锥O-ABC的侧棱与底面ABC所成的角都是60°，
∴O-ABC是正三棱锥．
过O作OG⊥平面ABC交于点G，延长AG交BC于D．
∵O-ABC是正三棱锥，
∴点G是△ABC的中心，
∴AD是等边△ABC的一条高，
∴AD=

3

2

BC=3

3

，
∴AG=

2

3

AD=2

3

．
∵OG⊥平面ABC，
∴∠ABG=60°，
∴OA=2AG=4

3

，OG=

3

AG=6．
∵△ABC是正三角形，
∴BD=CD=

1

2

BC=3，而OB=OC，∴OD⊥BD，
∴OD=

OB2-BD2

=

OA2-BD2

=

13

2

，
∴△ABC的面积=

1

2

AB²sin60°=9

3

．
∴O-ABC的体积为

1

3

×S_△ABC×OG=18

3

故答案为：18

3

点评：本题考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．