Question

已知函数f（x）=2cos（2x+φ），（|φ|≤

π

2

）．
①若f（x）≤f（

π

12

）对x∈R恒成立，则φ=

 

；
②在①的条件下，若函数y=f（x）-m在区间[0，

π

2

]上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：函数的性质及应用

分析：①由f（x）≤f（

π

12

）对x∈R恒成立知f（

π

12

）=f（x）_max=2，从而

π

6

+φ=2kπ，k∈Z，进而求出答案；
②由①知f（x）=2cos（2x-

π

6

），t=2x-

π

6

，得t∈[-

π

6

，

5π

6

]，将函数的零点问题转化为2个函数的解得问题，从而求出答案．

解答： 解：①由f（x）≤f（

π

12

）对x∈R恒成立知f（

π

12

）=f（x）_max=2，
即f（

π

12

）=2cos（

π

6

+φ）=2，
∴cos（

π

6

+φ）=1，
从而

π

6

+φ=2kπ，k∈Z，
又∵|φ|≤

π

2

，∴φ=-

π

6

；
②由①知f（x）=2cos（2x-

π

6

），
∴y=f（x）-m=2cos（2x-

π

6

）-m，
设t=2x-

π

6

，由x∈[0，

π

2

]得t∈[-

π

6

，

5π

6

]，
则函数y=2cos（2x-

π

6

）-m在区间[0，

π

2

]上有2个不同的零点
?函数y=2cost，t∈[-

π

6

，

5π

6

]与函数y=m的图象有2个不同的交点，
∴m∈[

3

，2），
故答案为：-

π

6

；[

3

， 2)．

点评：不同考查了函数的零点问题，考查三角函数的图象及性质，考查转化思想，是一道中档题．