Question

12．某市为鼓励居民节约用水，将实行阶梯水价，该市每户居民每月用水量划分为三级，水价实行分级递增．第一级水量：用水量不超过20吨，水价标准为1.5元/吨； 第二级水量：用水量超过20但不超过30吨，超出第一级水量的部分，水价为2.25元/吨； 第三级水量：用水量超过30吨，超出第二级水量的部分，水价为3.0元/吨．随机调查了该市1000户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下的频率分布表：

用水量（吨）	[0，10]	（10，20]	（20，30]	（30，40]	（40，50]	合计
频数	200	400	200	b	100	1000
频率	0.2	a	0.2	0.1	c	1

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；从该市调查的1000户居民中随机抽取一户居民，求该户居民用水量不超过30吨的概率；
（Ⅱ）从1000户居民中按用水三个等级分层抽取5户幸运者，发给大奖两份和幸运奖三份共5份，每户一份，求两份大奖获得者的都是节水型用户（用水量不超过20吨的居民）的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率=$\frac{频数}{总数}$，能求出a，b，c．设“该户居民月用水量不超过30吨”为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出该居民月用水量不超过30吨的概率．
（Ⅱ）设“获得两份大奖的都是节水型用户”为事件B．由分层抽样可得，第一级抽取了3人，记为a₁，a₂，a₃，第二级抽取1人，记为b，第三级抽取1人，记为c，利用列举法能求出两份大奖获得者的都是节水型用户的概率．

解答 解：（Ⅰ）由意知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{400}{1000}=a}\\{\frac{b}{1000}=0.1}\\{\frac{100}{1000}=c}\end{array}\right.$，解得a=0.4，b=100，c=0.1．…（3分）
设“该户居民月用水量不超过30吨”为事件A．
由表可知：所以该居民月用水量不超过30吨的概率：
P（A）=0.2+0.4+0.2=0.8．…（4分）
（Ⅱ）设“获得两份大奖的都是节水型用户”为事件B．
由分层抽样可得，第一级抽取了3人，记为a₁，a₂，a₃，第二级抽取1人，记为b，
第三级抽取1人，记为c（6分）
则所有基本事件为：（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b），
（a₁，c），（a₂，b），（a₂，c），（a₃，b），（a₃，c），（b，c）共10种  （8分）
事件B所包含的基本事件有：（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃）共3种
则P（B）=$\frac{3}{10}$，
所以两份大奖获得者的都是节水型用户的概率为$\frac{3}{10}$．（12分）

点评 本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．