Question

已知曲线y=2x-x²上有两点A（2，0），B（1，1），求：
（1）割线AB的斜率k_AB；
（2）点A处的切线的方程；
（3）过点A的切线斜率k_AT．

Answer 1

分析：（1）由曲线y=2x-x²上有两点A（2，0），B（1，1），能求出割线AB的斜率k_AB．
（2）由y=2x-x²，A（2，0），利用导数的几何意义能求出点A处的切线的方程．
（3）由y=2x-x²，A（2，0），利用导数的几何意义能求出过点A的切线斜率k_AT．

解答：解：（1）∵曲线y=2x-x²上有两点A（2，0），B（1，1），
∴割线AB的斜率k_AB=

0-1

2-1

=-1．
（2）∵y=2x-x²，∴y′=2-2x，
∵y′|_x=2=2-2×2=-2，
∴点A处的切线的方程为：y=-2（x-2），即2x+y-4=0．
（3）∵y=2x-x²，∴y′=2-2x，
∴曲线y=2x-x²在（x0，2x0-x02）处的切线方程为：
y-2x0+x02=(2-2x0)(x-x0)，
∵切线方程为点A（2，0），
∴-2x0+x02=(2-2x0)(2-x0)，
解得x₀=2，
∴过点A的切线斜率k_AT=2-2x₀=2-4=-2．

点评：本题考查割线斜率的求法、切线方程的求法和切线斜率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的合理运用．