Question

（2012年高考（大纲理））(注意:在试卷上作答无效)

函数.定义数列如下:是过两点的直线与轴交点的横坐标.

(1)证明:;

(2)求数列的通项公式.

Answer 1

【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用.先从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明,根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项.

解:(1)为,故点在函数的图像上,故由所给出的两点,可知,直线斜率一定存在.故有

直线的直线方程为,令,可求得

 

所以

下面用数学归纳法证明

当时,,满足

假设时,成立,则当时,,

由即也成立

综上可知对任意正整数恒成立.

下面证明

由

由,故有即

综上可知恒成立.

(2)由得到该数列的一个特征方程即,解得或

    ①     ②

两式相除可得,而

故数列是以为首项以为公比的等比数列

,故.

法二(先完成Ⅱ,用Ⅱ证Ⅰ):(Ⅱ) 的方程为,令得

(不动点法) 令,得函数的不动点.

 

 

上两式相除得.可见数列是等比数列,其中公比,首项为

. 即为所求.

(Ⅰ)①由上知(当时).

②又(当时).

③易见,数列单调递减,所以数列单调递增,即

.

综合①②③得:.

【点评】以函数为背景,引出点的坐标,并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式.既考查了直线方程,又考查了函数解析式,以及不等式的证明,试题比较综合,有一定的难度.做这类试题那就是根据已知条件,一步一步的翻译为代数式,化简得到要找的关系式即可.