【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学(男
女
),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | |||
女同学 | |||
总计 |
(1)能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在
分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
(3)现从选择做几何的名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为
,求
的分布列及数学期望
.
【答案】(1) 有的把握认为视觉和空间能力与性别有关;(2)
;(3)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据所给列联表,计算
的观测值,和附表和公式进行比较;(2)基本事件满足的区域为
,求解其中
的面积比值,就是所求概率;(3)X可能取值为0,1,2,根据超几何分布求其概率,并列分布列和数学期望.
试题解析:(1)由表中数据得的观测值
,
所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.
(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟,
则基本事件满足的区域为(如图所示)
设事件为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为
,
∴,即乙比甲先解答完的概率为
.
(3)X可能取值为0,1,2,
,
,
,
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P |
.
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【题目】已知圆:
,点
,直线
.
(1)求与圆相切,且与直线
垂直的直线方程;
(2)在直线上(
为坐标原点),存在定点
(不同于点
),满足:对于圆
上的任一点
,都有
为一常数,试求出所有满足条件的点
的坐标.
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【题目】已知函数相邻两对称轴间的距离为
,若将
的图象先向左平移
个单位,再向下平移1个单位,所得的函数
为奇函数.
(1)求的解析式,并求
的对称中心;
(2)若关于的方程
在区间
上有两个不相等的实根,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点,点M为BB1的中点.
(1)求证:PB1⊥平面PAC;
(2)求直线CM与平面PAC所成角的正弦值.
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【题目】中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如下表:
表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排 列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推,例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框 图,若输人的x=1, y = 2,则输出的S用算筹表示为
A. B.
C.
D.
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【题目】如图,平面PAC⊥平面ABC,是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,
.
(1)设G是OC的中点,证明:∥平面
;
(2)证明:在内存在一点M,使FM⊥平面BOE,求点M到OA,OB的距离.
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