Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，过左焦点F₁（-2，0）作x轴的垂线交椭圆于P，Q两点，PF₂与y轴交于E（0，$\frac{3}{2}$），A，B是椭圆上位于PQ两侧的动点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e和标准方程；
（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率K_AB是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）把x=-2代入椭圆方程可得：$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得P$（-2，\frac{{b}^{2}}{a}）$，直线PF₂的方程为：$y=-\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$．把点P代入直线方程与a²=b²+4，联立解出即可得出．
（II）当∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率K_AB为定值-$\frac{1}{2}$，下面给出证明分析．由（I）可得：P（-2，3）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．不妨设直线PA的方程为：y=k（x+2）+3．则直线PB的方程为：y=-k（x+2）+3．与椭圆方程联立，化为：（3+4k²）x²+（16k²+24k）x+16k²+48k-12=0．利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．

解答 解：（I）把x=-2代入椭圆方程可得：$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．取P$（-2，\frac{{b}^{2}}{a}）$，直线PF₂的方程为：$y=\frac{\frac{3}{2}}{-2}x+\frac{3}{2}$，即$y=-\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$．
把点P代入直线方程可得：$\frac{{b}^{2}}{a}$=$-\frac{3}{4}$×（-2）+$\frac{3}{2}$，化为：b²=3a，又a²=b²+4，联立解得a=4，b²=12．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（II）当∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率K_AB为定值-$\frac{1}{2}$，下面给出证明．
由（I）可得：P（-2，3）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．不妨设直线PA的方程为：y=k（x+2）+3．则直线PB的方程为：y=-k（x+2）+3．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）+3}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+（16k²+24k）x+16k²+48k-12=0．
∴-2x₁=$\frac{16{k}^{2}+48k-12}{3+4{k}^{2}}$，解得x₁=$\frac{-8{k}^{2}-24k+6}{3+4{k}^{2}}$，y₁=$\frac{-12{k}^{2}+12k+9}{3+4{k}^{2}}$．
同理可得：x₂=$\frac{-8{k}^{2}+24k+6}{3+4{k}^{2}}$，y₂=$\frac{-12{k}^{2}-12k+9}{3+4{k}^{2}}$．
∴k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-24k}{48k}$=-$\frac{1}{2}$，为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．