Question

【题目】已知抛物线，过的直线与抛物线相交于两点.

（1）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

（2）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，直线的方程为；定值为

【解析】

（1）设，，直线的方程为，联立直线的方程与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，，然后，用将表示出来即可.

（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入，得，然后将表示出来即可.

（1）依题意，点的坐标为，可设，，

直线的方程为，与联立得.

由韦达定理得：，，

于是，

所以当时，面积最小值，最小值为.

（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，

则以为直径的圆的方程为，

将直线方程代入，得，

则.

设直线与以为直径的圆的交点为，，

则，，于是有

.

当，即时，为定值.

故满足条件的直线存在，其方程为.