Question

3．若A={x|y=$\sqrt{\frac{5}{x+1}-1}$}，B={x|y=1g（x²+4x+m）}，A∩B=（-1，4]，则m的取值范围是[3，+∞）．

Answer 1

分析 求出A={x|-1＜x≤4}，A?B，由此利用一元二次不等式的性质能求出m的取值范围．

解答 解：∵A={x|y=$\sqrt{\frac{5}{x+1}-1}$}={x|$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{x+1}-1≥0}\\{x+1≠0}\end{array}\right.$}={x|-1＜x≤4}，
B={x|y=1g（x²+4x+m）}={x|x²+4x+m＞0}，
∵A∩B=（-1，4]=A，∴A?B，
设f（x）=x²+4x+m，
∵f（x）是开口向上，对称轴为x=-2的抛物线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=1-4+m≥0}\\{f（4）16+16+m≥0}\end{array}\right.$，解得m≥3．
∴m的取值范围是[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．