Question

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是一个矩形，PA⊥平面ABCD，已知AB=2，BC=4，M是PB的中点，向量

CM

与

BD

夹角的大小为π-arccos

14

5

．求这个四棱锥的体积．

Answer 1

分析：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求出PA，再由公式V _P-ABCD=

1

3

S _ABCD×PA 求出即可．

解答：解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设PA=2a则P（0，0，2a），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（1，0，a）
向量

CM

=（-1，-4，a）

BD

=（-2，4，0），∴cos＜

CM

，

BD

＞=

CM • BD

| CM |× | BD|

∴

-14

17+a2 ×2 5

=-

14

5

．解得a=

2

2

，PA=

2

．
∴V _P-ABCD=

1

3

S _ABCD×PA=

1

3

×8×

2

．=

8 2

3

点评：本题考查向量及夹角的运算，几何体体积计算，考查空间想象、计算转化能力．